Algorithmic and Experimental Methods in Algebra, Geometry and Number Theory (SPP1489)
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Arrangements of complex reflection groups: Geometry and combinatorics

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Bei einer neuen Ausschreibung eines Schwerpuntktprogramms der DFG zum Thema "Algorithmic and Experimental Methods in Algebra, Geometry and Number Theory" (SPP1489) war Prof. Dr. G. Röhrle mit einem Antrag zum Thema "Arrangements of complex reflection groups: Geometry and combinatorics" erfolgreich. Im Rahmen des von der DFG geförderten Forschungsprojektes von Herrn Röhrle wird eine Doktorandenstelle an der Fakultät eingerichtet. Hier eine kurze Zusammenfassung des Forschungsprojektes:

In einer gemeinsamen Arbeit mit Hoge gelang jüngst durch einen Computer-unterstützten Beweis die Bestätigung einer Vermutung von Orlik und Terao von 1992 über die Frage nach der Freiheit von Einschränkungen von Spiegelungsarrangements von komplexen Spiegelungsgruppen. Diese Einschränkungen sind für das Verständnis des zugrundeliegenden Arrangements von großer Bedeutung. Gegenstand dieser Forschungsvorhaben ist es, weitere kombinatorische und geometrische Eigenschaften von Spiegelungsarrangements zu untersuchen.

Dabei konzentrieren wir uns auf folgende Schwerpunkte. Erst kürzlich konnte Bessis die sogenannte K(\pi,1)-Eigenschaft für alle Spiegelungsarrangements nachweisen, und damit eine wichtige Vermutung aus den 1980er Jahren bestätigen. Orlik und Terao vermuteten in den 1990er Jahren, dass diese Eigenschaft auch für alle Einschränkungen von Spiegelungsarrangements gilt. Für Coxeter Gruppen ist dies dank der bahnbrechenden Arbeit von Deligne seit 1972 bekannt.

Unser erstes Ziel in diesem Vorhaben ist es, diese Vermutung zu beweisen, die zu einem besseren Verständnis der topologischen und geometrischen Natur von Spiegelungsarrangements beitragen wird.

Der von Saito eingeführte Begriff der Freiheit spielt eine Schlüsselrolle im Verständnis von Hyperebenenarrangements. Neben diesem gibt es den stärkeren Begriff der induktiven Freiheit und den etwas schwächeren von rekursiver Freiheit. Es ist seit langem bekannt, dass freie Arrangements nicht notwendigerweise induktiv frei sind. Umgekehrt ist es jedoch eine seit 1992 nach wie vor offene Vermutung von Orlik und Terao, ob jedes freie Arrangement bereits rekursiv frei ist. In einer jüngeren gemeinsamen Arbeit mit Hoge wurde die Klasse von induktiv freien Spiegelungsarrangements bestimmt. In unserem zweiten Forschungsvorhaben wollen wir uns Fragen von Freiheit von Spiegelungsarrangements und deren Einschränkungen widmen und insbesondere die gerade angesprochene Vermutung von Orlik und Terao für Spiegelungsarrangements bestätigen.

Die Durchführung dieser Vorhaben wird zu einem tieferen Verständnis sowohl von komplexen Spiegelungsgruppen und ihren Arrangements, als auch darüberhinaus von allgemeinen Hyperebenenarrangements beitragen.

Zur Homepage von Prof. Dr. G. Röhrle.