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MathePraxis: Projekt Segway

Wie ist es möglich, dass man auf einem Segway, einem Elektroroller auf nur zwei Rädern, fahren und sogar still stehen kann, ohne umzufallen? Das ist die Startfrage zum Projekt "Ausbalancieren mit Differentialgleichungen – Der Segway".

Vereinfacht kann man den Segway als ein inverses Pendel modellieren, ein Pendel, das auf einem Wagen an einer Achse aufgehängt und nach oben ausgelenkt ist. Ohne Eingreifen von außen würde das Inverse Pendel umfallen – in seine Ruhelage. Steuert man mit dem Wagen jedoch gegen die Umfallbewegung, so kann man das Pendel in seiner oberen (instabilen) Gleichgewichtslage balancieren – so wie man einen Regenschirm auf der Fingerspitze ausbalancieren kann.

Die Teilnehmerinnen und Teilnehmer im Projekt sollten zuerst das Verhalten eines inversen Pendels ohne äußere Krafteinwirkung berechnen. Hierzu linearisierten sie die nichtlinearen Bewegungsgleichungen und lösten anschließend das System von linearen Differentialgleichungen. Diese Lösung ist instabil, da positive Eigenwerte auftreten. Danach sollten sie eine geschickte Regelung suchen, eine Vorschrift, wie der Wagen abhängig von Winkel und Position des Pendels gefahren werden muss, um das Pendel zu stabilisieren – eine Regelung durch Zustandsrückführung (pole placement).

Um die Praxis nicht zu kurz kommen zu lassen, bekamen die Studenten die Möglichkeit, selbst ein Segway zu fahren und die Regelung auf Herz und Nieren zu prüfen.