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das Studium von Mannigfaltigkeiten (wie sie zum Beispiel als Lösungsmengen von Gleichungssystemen auftauchen) oder von allgemeineren topologischen Räumen. In der algebraischen Topologie ordnet man diesen geometrischen Gebilden algebraische Größen zu. In der Regel verlangt man von einer solchen Zuordnung, dass sie sich invariant verhält unter stetigen Deformationen, sogenannten Homotopien. Die algebraischen Größen können Zahlen sein (z.B. die Eulercharakteristik oder Geschlechter), Polynome (z.B. das Alexanderpolynom eines Knotens), Gruppen (z.B. Homologie- und Homotopiegruppen), Ringe (z.B. Kohomologieringe) u.a.. Je feiner die zugeordnete algebraische Struktur ist, desto mehr können wir über die topologischen Räume aussagen.
In diesem Zusammenhang hat es sich als nützlich erwiesen, die Theorie der elliptischen Kurven zur qualitativen Beschreibung von Mannigfaltigkeiten mit einzubeziehen. Den Anstoß für diese neue Entwicklung hat der Physiker und Mathematiker Ed Witten gelegt, der das Verhalten kleinster Schleifen ("Strings") in Mannigfaltigkeiten studierte. Es ist das Ziel der sogenannten elliptischen Kohomologietheorie, die Stringtheorie der Physiker auf eine solide mathematische Grundlage zu stellen und auch innerhalb der Mathematik auf Klassifizierungsprobleme, homotopietheoretische Probleme und Indexprobleme anzuwenden. Die Algebraische Topologie bildet also ein Bindeglied zwischen den verschiedenen Bereichen Stringtheorie, Topologie, Algebraische Geometrie, Differentialgeometrie und globale Analysis.
Viele Methoden, die bereits in den 50er und 60er Jahren von Algebraischen Topologen entwickelt wurden, finden heute in anderen Bereichen der Mathematik Anwendungen und liefern hier Lösungen zu alten mathematischen Problemen (man denke hierbei z.B. an die Arbeiten von Voevodsky oder Perelman, die 2002 bzw. 2006 mit der Fields Medaille geehrt wurden). Man kann sagen, dass besonders die Homotopietheorie nach ihrer Blütezeit in der Mitte des letzten Jahrhunderts heute wieder ein sehr aktives, interessantes und fruchtbares Forschungsgebiet geworden ist. Außerhalb Deutschlands sind an dieser Entwicklung besonders amerikanische, englische und französische Universitäten beteiligt.
Themen für Abschlussarbeiten:
In einer Diplom-/Master- oder Staatsexamensarbeit sollte ein mathematisches Problem eigenständig bearbeitet werden. Das Thema kann grob an die vorliegenden Vorkenntnisse angepasst werden. Eine Einarbeitungszeit von einigen Monaten für das gegebene Problem ist dann die Regel (s.a. Rahmenbedingungen). Häufig besteht die Aufgabe darin, dass gewisse Teilaspekte in vorhandenen Theorien ausgeleuchtet werden und mit interessanten Beispielen untermauert werden. Die Fragestellungen werden aus dem beschriebenen Arbeitsgebiet gewählt und dienen der Weiterentwicklung dieser Theorien. Es ist deshalb auch denkbar, dass eine solche Arbeit einen neuen Satz liefert, der für die Mathematik von großer Bedeutung sein kann. Diese Möglichkeit ist allerdings nicht zwingend für eine gültige Abschlussarbeit.
Rahmenbedingungen:
Als Einstieg werden regelmäßig Kursusvorlesungen und Seminare zum Thema Topologie, Differentialtopologie, Differentialgeometrie und Geometrie für Studenten ab dem 3. Semester angeboten. Falls man sich für eine Diplomarbeit im Bereich Topologie entscheidet, sollte man Vorkenntnisse in weiterführenden Veranstaltungen wie Algebraische Topologie, Homotopietheorie oder K-Theorie mitbringen. Auch diese Veranstaltungen finden in einem regelmäßigen Turnus statt. Weiterhin wird erwartet, dass die Diplomarbeit zügig und mit dem notwendigen Einsatz in Angriff genommen wird. Die Aufgabe wird so gestellt, dass sie innerhalb eines Jahres abgeschlossen sein sollte. Hierzu ist eine intensive Betreuung hilfreich, für die alle Mitarbeiter des Lehrstuhls Topologie als Ansprechpartner stets zur Verfügung stehen. Die Teilnahme am Oberseminar Topologie ermöglicht außerdem den wissenschaftlichen Austausch mit anderen Universitäten.
Für Staatsexamensarbeiten sind keine tiefliegenden Vorkenntnisse in Topologie erforderlich, sondern es genügt, die Grundbegriffe in einer der einführenden Veranstaltungen gelernt zu haben. Eine Bearbeitungszeit von 6 Monaten ist hierfür vorgesehen.
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