2.3 Stochastische Strukturanalyse (Kovarianzanalyse)

Die lebensdauerorientierte Auslegung von Tragwerken erfordert nicht nur eine mathematische Formulierung der Einwirkungen bzw. Belastungen als Prozeßmodell, sondern ebenso ein adäquates mathematisches Prozeßmodell für die Tragwerksseite. Wählt man die aus der Systemtheorie bekannte Zustandsraumdarstellung als mathematische Beschreibungsbasis, erhält man ein umfangreiches und leistungsfähiges Instrumentarium, um eine stochastische Modellbildung vornehmen zu können. Von besonderem Vorteil ist, daß sich über die Zustandsraumdarstellung die im Vorkapitel beschriebenen Lastprozesse auf die mathematische Idealisierung eines stochastischen Erregerpozesses, das sog. weiße Rauschen, zurückgeführt werden können.

Für den Eingangsprozeß, des weißen gaußschen Rausches, ist aus der Systemtechnik die Lösung einer Zustandsraumdarstellung in Form der Itô-Differentialgleichung (DGL) [ARNO73] bekannt. Unter Annahme stationärer gaußverteilter Prozesse lautet die DGL :

Zur Beschreibung eines stochastischen Prozesses dienen die statistischen Parameter Mittelwert mz, Korrelation   und Kovarianz Pzz der Zustandsraumdarstellung.

Für mittelwertbefreite Prozesse erhält man aus der Ito-Differentialgleichung die bilineare Matrizengleichung

zur Ermittlung der Kovarianzen Pzz. Die Lösung dieser algebraischen Gleichung, die in der Systemtheorie als Ljapunow-Gleichung bezeichnet wird und bei Stabilitätsuntersuchungen von dynamischen Systemen auftritt, lautet:

In der numerischen Mathematik und Systemtechnik liegen verschiedene Lösungsalgorithmen vor.

Das beschriebene Konzept wurde als tragende Basis für eine Prozeßmodellierung von Tragwerk S2 und Belastung S1 gewählt und im Erstförderungszeitraum realisiert. Dazu wurden Tragwerk und Belastung zunächst als unabhängige Systeme bzw. Filter begriffen und modelliert, um dann in Reihenschaltung den tatsächlichen Gesamtprozeß abzubilden (siehe Abb.9).

Bild 8: Gesamtprozeß

Der als mehrfachkorreliert angenommene Belastungsprozeß wurde aus Meßsignalen identifiziert und als Belastunsmodell S1 aufgefaßt. Das Tragwerk wurde nach Prinzipen der Strukturmechanik als FE-Modell erstellt und im Sinne der Zustandsraumdarstellung als Tragwerksmodell S2 realisiert, wobei für übliche dynamische Probleme die lineare Übertragung bzw. Modelbildung eine akzeptable Näherung ist. Die Modellbildung eines Tragwerks mit FEM ist aus der Strukturdynamik bekannt und soll hier nicht weiter erläutert werden. Im Rahmen der Projektbearbeitung wurde das "CAL-System" verwendet [LEIM93]

Zur Systemidentifikation des Belastungsprozesses wurde dem Ursache-Wirkung-Prinzip oder der Black-box-Modellbildung gefolgt. Dabei sind die Parameter des Systems "Belastung" auf weißes Eingangsrauschen zu normieren. Der farbige mehrfachkorrelierte Belastungsprozeß wird auf ein weißes Signal zurückgeführt. Diese Modellbildung ist auch als Realisierung bekannt und basiert auf der numerischen Methode der Singulärwertzerlegung. Da die Realisierungsmodelle im Bauingenieurwesen für mehrfachkorrelierte Lastprozesse nur wenig bekannt sind, werden diese nachfolgend näher erläutert.


Realisierung mehrfachkorrelierter Lastprozesse / Kovarianzanalyse

Die Parameteridentifikation der stochastischen Realisierung [KAMA97] basieren auf Meßsignalen oder daraus ermittelten Korrelations- oder Leistungsspektralfunktionen [AKAI74] [AOKI90]. Auf Grundlage der Korrelationsfunktionen der gemessenen Belastungsprozesse, die hier in der Form

Verwendung finden, erfolgt die Identifikation der unbekannten Parameter A1, B1, C1 des Systems S1. Die Korrelationsfunktion des mehrfach korrelierten Prozesses wird an äquidistanten Vielfachen des Zeitintervalls   diskretisiert.

Eine wichtige Basisgröße ist eine speziell strukturierte Matrix mit theoretisch unendlicher Dimension, aber endlichem Rang, die sog. Hankelmatrix H, die aus den diskretisierten Korrelationsfunktionen zu einer speziellen Blockstruktur aufgebaut wird.

Der Hankelmatrix, die alle Informationen des mehrfachkorrelierten Prozesses enthält, kann die theoretische Formulierung mit den noch unbekannten gesuchten Parametern gegenübergestellt werden.

Der endliche Rang entspricht der gesuchten Systemordnung des Zustandsraummodelles, deshalb kann die Matrix H in eine blockdyadische Form zerlegt werden:

Die Quadrate der Matrizen  und  sind in der Systemtheorie [MOOR93] als Grammians bekannt und erlauben zu überprüfen, ob das gesuchte System S1 beobachtbar bzw. steuerbar ist, was für die Realisierung eines Systems zwingend erforderlich ist.

Da die diskretisierten Daten shiftinvariant sind, lassen sich zwei Hankelstrukturen aufbauen, aus dessen gemeinsamer blockdyadischer Struktur die zunächst gesuchten Parameter A1, C1 und  ermittelt werden können:

Die Faktorisierung der Datenstruktur in Hankelform erfolgt mit der Singulärwertzerlegung [GOLU97]:

Aus den Blockzeilen und -spalten ergeben sich dann die Parameter wie folgt:

Die Methodik ist als Subspace-Method bekannt [MOOR93]. Die Unterräume (Subspaces) zur Parameteridentifikation werden mit Hilfe der signifikanten Singulärwerte ermittelt, die den Rauschraum von Signalraum trennen (noch detailliertere Darstellung siehe Teilprojekt B4 von Prof.Waller).

Als Methode für die Berechnung der noch unbekannten Parameter A1, C1 und B1 wird die iterative Lösung der Riccati-Gleichung

eingesetzt, aus der die Kovarianzmatrix  bestimmt wird.

Der Parameter B1 folgt dann als sogenannte Kalman-Verstärkung aus

und einer Umrechnung in eine kontinuierliche Systemgröße. Der Belastungsprozeß ist somit mit den Parametern S1{A1, B1, C1} als Zustandsraummodell beschrieben.

Über eine Reihenschaltung mit dem Tragwerk als Strukturfilter, der sich als FE-Modell

zu S2{A2, B2, C2} darstellen läßt, entsteht das Gesamtsystem bzw. die Gesamtprozeßgleichung

Aus dieser Formulierung wird dann die Ljapunow-Gleichung zur stochastischen Strukturanalayse und Ermittlung der statistischen Parameter

aufgestellt. Die verwendete, oben vorgestellte Methodik, ist auch als Kovarianzanalyse bekannt. Wie bereits erläutert, wird der Belastungsprozeß auf weißes Rauschen normiert. Bisher sind bei der Realisierung nur schlecht handhabbare Methoden angewendet worden [GOSS85]. Die eingesetzte Singulärwertzerlegung mit der Black-box-Methode dagegen ermöglicht eine einfache und außerordentlich effiziente Handhabung auch mehrfachkorrelierter Belastungsprozesse und macht die Kovarianzanalyse zu einem allgemein gültigen Berechnungswerkzeug. Als stochastische Strukturanalyse ermöglicht sie, auf algebraischem Weg, die Berechnung der charakteristischen Prozeßkenngrößen  ,der spektralen Momente, die als Varianzen des Zustandsraumvektors zG vorliegen wobei :

.

Die geraden spektralen Momente   bzw.   liegen dabei nach der Lösung der Ljapunowgleichung direkt als Verschiebungsgrößen oder Spannungsgrößen vor. Die ungeraden spektralen Momente   berechnen sich aus dem Erwartungswert der Hilberttransformierten von   und dem zugehörigen Vektor zG des Zustandsraumes:

Die Tatsache, daß die Übertragungsfunktion bzw. die Lösung der Zustandsraumdarstellung in die Klasse der analytischen Funktionen einzuordnen sind, erlaubt eine indirekte Berechnung der gesuchten Hilberttransformierten, die einen eindeutigen Zusammenhang zwischen dem Real- und Imaginärteil einer Übertragungsfunktion darstellt [UNBE90]. Diese Eigenschaft gilt für lineare kausale Übertragungsfunktionen bzw. Systeme und kann rechenzeitgünstig genutzt werden. Die bekannten Leistungsspektralmethoden dagegen, die bislang hauptsächlich zur Berechnung statistischer Prozeßkenngrößen eingesetzt wurden, sind - bedingt durch die erforderliche Diskretisierung im Frequenzbereich - rechentechnisch wesentlich aufwendiger als die Kovarianzanalyse. Time-history-Rechnungen als dritte Variante zur Prozeßbeschreibung erfordern eine Diskretisierung im Zeitbereich und sind numerisch noch aufwendiger.

Um die Leistungsfähigkeit der Kovarianzanalyse für das Entwurfssystem nachzuweisen und um die Ergebnisse für den weiteren Verlauf der Projektbearbeitung zu verifizieren, wurde eine Vergleichsrechnung zwischen der Kovarianzanalyse und der Zeitverlaufsrechnung durchgeführt, auf deren Auswertung noch im Kapitel 3.4 eingegangen wird.


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