schule@ruhr-uni-bochum.math — Mathematik-Schnuppertag 2009

In diesem Jahr veranstaltet die Ruhr-Universität Bochum gemeinsam mit dem Ministerium für Schule und Weiterbildung erneut einen einen "Schnuppertag" an dem schülergerechte Vorlesungen und Workshops angeboten werden: Termin:

Donnerstag, der 08. Oktober 2009.

(Weitere Anmeldungen zu den Workshops sind zu diesem Zeitpunkt leider nicht mehr möglich!)

Der Vortrag:

Prof. Dr. R. Verfürth:

Mathematik und Spiele - ohne Glueck zum Sieg

Der Vortrag findet um 10.45 Uhr statt.

Die Workshops:

1. "Codeknacken"
2. Mathematik und Knoten - über Verwirrungen und Lösungen
3. Modulares Rechnen und das kryptografische Schlüsselvereinbarungsprotokoll von Diffie – Hellman
4. Anwendungen von stochastischem Grundwissen in vielfältigen Alltagssituationen
5. Mathematik und Ästhetik
6. Ein Flug mit der Spidercam – als Einstieg in die Analytische Geometrie
7. "Randomized-Response-Technik" oder "Wie man auch auf unangenehme Fragen gute Antworten erhält"
8. Splines

Die Workshops finden ab 13:30 Uhr statt.

Der gesamte Zeitplan:

Die Workshops im Detail:

Workshop 1: "Codeknacken"

Voraussetzungen: Für Schüler jeder Klassenstufe geeignet. Wir bieten unterschiedliche Workshops an, die an die verschiedenen mathematischen Fähigkeiten in den jeweiligen Klassenstufen angepasst sind. Der Workshop "Codeknacken" gibt eine Einführung in einfache Codierverfahren wie z. B. Substitutions- und Transpositionschiffren. Die Codierverfahren sollen anschließend von den Kursteilnehmern gebrochen werden. D. h. die Kursteilnehmer erhalten chiffrierte Nachrichten, die sie entschlüsseln sollen, um die zugrunde liegende Nachricht lesen zu können. Das Codeknacken soll vorwiegend per Hand aber auch rechnergestützt durchgeführt werden. Weiterhin wird ein Protokoll zum Aufteilen eines Geheimnisses in Teilgeheimnisse vorgestellt. Ein einzelnes Teilgeheimnis verrät dabei keinerlei Information über das Geheimnis selbst. Das Geheimnis kann nur dann rekonstruiert werden können, wenn genügend viele Teilnehmer ihre Teilgeheimnisse verknüpfen.

Workshop 2: Mathematik und Knoten - über Verwirrungen und Lösungen

Knoten begegnen uns im Alltag beim Schuhebinden oder beim Segeln. Wir stellen uns die Frage, wie man durch bloßes Hinsehen und mit Mathematik erkennen kann, ob zwei Knoten durch eine Bewegung im Raum ineinander überführt werden können. Hierzu werden wir die Knoten mathematisch modellieren und ihnen nach einer strengen Vorschrift Polynome zuordnen, also algebraische Objekte, mit denen man rechnen kann. Sind die Knoten nicht zu wild, so lässt sich die Antwort auf die Überführbarkeit der Knoten an deren Polynomen ablesen. In dem Workshop soll dieses Vorgehen an einigen Knoten illustriert werden.

Workshop 3: Modulares Rechnen und das kryptografische Schlüsselvereinbarungsprotokoll von Diffie – Hellman

Das modulare Rechnen wurde von dem 1777 geborenen Carl Friedrich Gauss in seinem 1801 erschienenen Werk „Untersuchungen über höhere Arithmetik“ in systematischer Weise eingeführt. Ist n eine natürliche Zahl >1, so wird eine modulare Addition +n und eine modulare Multiplikation ⊕n auf der Menge der Zahlen zwischen 0 und n-1 dadurch eingeführt, dass a +n b (bzw. a ⊕ n b) der Rest der Summe a + b (bzw. des Produktes a ⊕ b) nach Division durch n ist. Rechenregeln für diese Operationen modulo n sollen erarbeitet werden. Im Diffie – Hellman – Protokoll, das im Jahre 1976 bekannt wurde, verwenden zwei Personen, die oft Alice und Bob genannt werden, das modulare Potenzieren modulo einer etwa 80 – stelligen Primzahl n, um ohne Verwendung eines abhörsicheren Kommunikationskanals ein gemeinsames Geheimnis zu bestimmen, das als Parameter eines Verschlüsselungsverfahrens gewählt werden kann. Dieses Verfahren ist heute weit verbreitet. Seine Sicherheit beruht auf dem diskreten Logarithmusproblem, für welches keine schnelle Lösung bekannt ist. Für die kleine Primzahl n = 113 soll die Methode durch Rechnungen per Hand von allen Teilnehmer(inne)n ausgeführt werden. Besondere Vorkenntnisse sind für dieses Thema aus der Zahlentheorie nicht erforderlich.

Workshop 4: Anwendungen von stochastischem Grundwissen in vielfältigen Alltagssituationen

Ausgehend von populärwissenschaftlicher Literatur (z.B. „Der Hund der Eier legt“ von Hans-Peter Beck-Bornholdt und Hans-Hermann Dubben oder „Das Einmaleins der Skepsis“ von Gerd Gigerenzer) werden interessante und relevante Alltagsfragestellungen wie z. B. der genetische Fingerabdruck oder die Dunkelfeldforschung mit einfachen stochastischen Mitteln im Übergang von der Sekundarstufe I zur Sekundarstufe II untersucht. Dabei sollen in Arbeitsgruppen verschiedene Themen bearbeitet und anschließend im Plenum vorgestellt werden. Der Grad der Mathematisierung hängt stark vom Vorwissen der Teilnehmerinnen und Teilnehmer ab: Kenntnisse über Baumdiagramme werden vorausgesetzt, der Satz von Bayes wird benutzt, muss aber nicht bekannt sein.

Workshop 5: Mathematik und Ästhetik

In diesem Workshop stehen bekannte Beispiele dreidimensionaler Graphen im Vordergrund, wie Kreisel, Dullo oder Vis-a-vis. Untersucht werden die Funktionsgleichungen und die nötigen Umformungen zur Visualisierung der Lösungsräume. Vorkenntnisse im Bereich GTR oder CAS sind erwünscht.

Workshop 6: Ein Flug mit der Spidercam – als Einstieg in die Analytische Geometrie

Die Spidercam ist ein computergesteuertes Seilsystem für dreidimensionale Kamerafahrten, das bei Großveranstaltungen, wie z. B. Fußballspielen zum Einsatz kommt. Getragen von vier Seilen lässt sich die Kamera zu jedem Punkt des Platzes dirigieren, auch in unterschiedlichen Höhen. Die Seile sind an vier Masten an den Ecken des Platzes befestigt, über Winden werden die Seile verkürzt oder verlängert. Darüber hinaus lässt sich auch noch die Kamera um zwei Achsen drehen. In dem Workshop werden die Teilnehmerinnen und Teilnehmer zunächst ein Modell des Kamerasystems bauen, um eine anschauliche Vorstellung der Steuerung zu bekommen. Anschließend werden sie in Gruppen an unterschiedlichen Schwerpunkten arbeiten:

• Darstellung der räumlichen Situation in verschiedenen Koordinatensystemen (kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten)
• Abstandsberechnungen zur Steuerung der Kamera durch die Veränderung der Seillängen
• Winkelberechnungen bei der Drehung der Kamera
• Kräfte beim Ziehen an den Seilen (Vektoraddition)
• Modellierung der Seile und der Flugbahnen durch Geraden im Raum

Workshop 7: Randomized-Response-Technik oder: Wie man auch auf unangenehme Fragen gute Antworten erhält.

Fragen wie: "Hast du schon einmal geklaut?" oder "Hast du schon einmal in einer Klausur geschummelt?" werden in der Regel nicht wahrheitsgemäß beantwortet, wenn man Personen direkt befragt. Mithilfe einer bestimmten Fragetechnik (der Randomized-Response-Technik) kommt man der Wahrheit ein Stück näher. Im Workshop wird das Verfahren anhand von Computersimulationen vorgestellt. Die Teilnehmer erhalten dann selbst die Möglichkeit, einen Fragebogen zu entwickeln und innerhalb des Workshops auszuwerten. Besonderer Wert wird dabei auf die Analyse der Stabilität der Ergebnisse einer solchen Auswertung gelegt. Die Teilnehmerinnen und Teilnehmer sollten Grundlagen der Stochastik (Umgang mit Wahrscheinlichkeitsbäumen und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten) bereits im Unterricht behandelt haben.

Workshop 8: Splines

Durch zwei Punkte kann man immer eine Gerade legen, durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, kann man eine Parabel legen. Was macht man aber, wenn man sehr viele Punkte hat und durch diese einen Funktionsgraphen legen soll? So etwas kommt häufig in Anwendungen vor. Die erste Idee ist vielleicht, bei 10 Punkten ein Polynom 11. Grades zu verwenden. Mit einem Computeralgebrasystem ist das kein technisches Problem mehr, das Ergebnis ist aber in den seltensten Fällen befriedigend. Ein anderer Ansatz geht von Funktionen aus, die stückweise zusammengesetzt werden. Dabei ist besonders auf die Nahtstellen zwischen den Funktionsstücken zu achten, denn dort sollen weder Sprünge noch Knicke auftreten. Bei der technischen Durchführung hilft auch in diesem Fall das Computeralgebrasystem. Im Workshop werden die beiden Ansätze verfolgt und miteinander verglichen. Zum Verständnis der Splines sind Kenntnisse in der Differentialrechnung erforderlich. Es werden keine Kenntnisse im Umgang mit einem Computeralgebrasystem vorausgesetzt. Für die Teilnehmer stehen entsprechende Geräte zur Verfügung.