Kooperationsprojekt: Stochastische Modellierung im Wirbelschichtreaktor
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Stochastische Modellierung von Teilchentransport in einem Wirbelschichtreaktor

Kooperationspartner:
Prof. Dr. Alex Christian Hoffmann, Lehrstuhl für Verfahrenstechnik,Fakultät für Physik und Technologie, Universität Bergen,Norwegen
Prof. Dr. Herold Dehling, Lehrstuhl für Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen, Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum

Problem aus der Praxis


Wirbelschichtreaktoren spielen eine herausragende Rolle in der Verfahrenstechnik. Wichtige Grundoperationen der Verfahrenstechnik (Mischen, Fördern, Trocknen) werden mit Hilfe der Wirbelschichttechnik durchgeführt. Dabei wird eine Masse aus feinkörnigen Feststoffteilchen von unten nach oben von einem Gas durchströmt. Sobald die Strömungsgeschwindigkeit des Gases einen kritischen Wert überschreitet, wird die auf die Teilchen wirkende Gravitationskraft durch die entgegenwirkende Strömungskraft des
Gases aufgehoben. Der Feststoff verhält sich dann flüssigkeitsähnlich, unter anderem beobachtet man Diffusion von Teilchen durch den Reaktor.
Wir haben uns vor allem mit kontinuierlich operierenden Wirbelschichtreaktoren
befasst. In solchen Reaktoren werden permanent Teilchen am oberen Ende des
Reaktors hinzugefügt und entsprechend am unteren Ende entnommen.Der Teilchentransport in solchen Reaktoren ist ein hoch komplexer Vorgang, der nach Rowe und Partridge (1974) von drei physikalischen Prozessen dominiert wird (siehe Abbildung links):


  • Vertikaler Teilchentransport als Resultat des Einströmens und Ausströmens von Teilchen
  • Diffusion als Folge der Störung von Teilchen durch aufsteigende Gasblasen
  • Transport von Teilchen nach oben im Sog aufsteigender Gasblasen.


Während des Aufenthalts im Reaktor sind die Teilchen chemischen und physikalischen Reaktionen ausgesetzt. Von besonderem Interesse ist daher die Verweildauer der Teilchen im Reaktor. Wegen des stochastischen Charakters der Transportvorgänge ist die Verweildauer zufällig. Das Problem bestand darin, ein mathematisches Modell für den Teilchentransport zu finden, mit dessen Hilfe dann die Verweildauerverteilung der Teilchen im Reaktor bestimmt werden sollte.

Mathematischer Beitrag

In [Dehling, Hoffmann, Stuut (1999)] wurden Markovsche Prozesse als Modelle für den Teilchentransport betrachtet. Nach Diskretisierung von Raum und Zeit spiegelt eine Markovkette die oben genannten physikalischen Transportvorgänge wider. Das zugehörige Modell ist ein Geburts- und Todesprozess mit der zusätzlichen Möglichkeit eines Sprungs zum oberen Ende des Reaktors aufgrund des Transports im Sog der aufsteigenden Gasblasen. Es konnte gezeigt werden, dass durch Verfeinerung der Diskretisierung im Limes ein zeitstetiger stochastischer Prozess resultiert. Dieser Prozess ist ein Diffusionsprozess mit Sprüngen, der durch eine partielle Differentialgleichung

Diffusionsgleichung

für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens beschrieben wird. Außerdem gelten Randbedingungen am Eingang und am Ausgang des Reaktors.

Ergebnisse

Auf der Basis des stochastischen Transportmodells kann die Verweildauerverteilung der Teilchen berechnet werden. Die theoretisch ermittelten Werte stimmen recht gut mit den experimentell beobachteten Werten überein. Die theoretische Verweildauerverteilung in unseren Modellen hat an den Rändern dieselben qualitativen Charakteristiken, die experimentell beobachtet werden. Es gelang außerdem, den exponentiellen Abfall der Verweildauerverteilung bei großen Zeiten zu berechnen. In Experimenten, die mit Hilfe eines Computertomographen in der Universitätsklinik Groningen durchgeführt wurden, ist es uns gelungen, die Bewegung einzelner Teilchen in einem Wirbelschichtreaktor zu beobachten. Die Daten haben unsere Modelle teilweise validiert, aber auch Anlass zu Verfeinerungen gegeben. So scheint die Annahme, dass der Transport im Sog aufsteigender Gasblasen sprunghaft erfolgt, nicht realistisch zu sein. In neueren Arbeiten haben wir daher Zweiphasenmodelle als Alternative vorgestellt.



Publikationen

H. G. Dehling, A.C.Hoffmann and H.W.Stuut: Stochastic models for transport in a fluidized bed. SIAM Journal on Applied Mathematics 60, 337-358 (1999).
C. Dechsiri, A. Ghione, F. van de Wiel, H. G. Dehling, Anne M. J. Paans and Alex C. Hoffmann: Positron Emission Tomography Applied to Fluidization Engineering.Canadian Journal of Chemical Engineering 83, 88-96 (2005).
T. Gottschalk, H. G. Dehling and A. C. Hoffmann: Danckwerts' Law for Mean Residence Time Revisited. Chemical Engineering Science 61, 6213 - 6217 (2006).
H. G. Dehling, T. Gottschalk and  Alex C. Hoffmann: Stochastic Modeling in Process Technology (Mathematics in Science and Engineering, Volume 211). Elsevier Science 2007.
H. G. Dehling, C. Dechsiri, T. Gottschalk, P. C. Wright and Alex C. Hoffmann: A Stochastic Model for Mixing and Segregation in Slugging Fluidized Beds.  Powder Technology 171, 118-125 (2007).
T. Gottschalk, H. G.Dehling and A. C.Hoffmann: Multiphase stochastic model for fluidized beds. Physical Review E 77, 031306 (2008).

 
 
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Letzte Änderung: 22.03.2016 | Ansprechpartner/in: Birgit Eberhardt