Schätzen von Optionspreisen unter Arbitragefreiheit

Kooperationspartner: Dr. Kay F. Pilz, Quantitative Analysis, Sal. Oppenheim jr. & Cie. KGaA, Frankfurt Dr. Melanie Birke, Lehrstuhl für Stochastik, insbes. Statistik, Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum

Problem aus der Praxis

Eine Call-Option ist das Recht, eine Aktie an einem späteren Zeitpunkt zu einem vorher festgelegten Basispreis zu kaufen. Der Optionspreis hängt außer vom Basispreis auch von dem aktuellen Wert der Aktie, der Restlaufzeit, der risikofreien Zinsrate und der Dividendenrendite ab. Bei der genauen Modellierung sind folgende Voraussetzungen zu beachten: Je höher der Basispreis ist, desto geringer ist der Optionspreis ; monoton fallend im Basispreis. Die Summe zweier Optionspreise derselben Aktie zu verschiedenen Basispreisen soll höher sein als der Optionspreis zum mittleren Basispreis ; konvex im Basispreis. Die Optionspreisfunktion ist beschränkt. Sind diese Bedingungen erfüllt, spricht man von Arbitragefreiheit. Durch sie sollen risikofreie, unbegrenzte Gewinne durch den Kauf von Optionen vermieden werden. Die Modellierung der Optionspreise geschieht bisher hauptsächlich über parametrische Regressionsmodelle bei denen die unbekannten Parameter aus den bereits beobachteten Optionspreisen geschätzt werden. Die Wahl eines bestimmten parametrischen Modells wie etwa des Heston- oder des Black and Scholes- Modells kann nun aber eine Missspezifikation und damit große, systematische Fehler zur Folge haben. Daher sind auch nichtparametrische Ansätze von Interesse, die immer noch die Bedingungen aus der Arbitragefreiheit einbeziehen. Bereits seit längerem existierende Ansätze schätzen dazu zunächst die State-Price-Dichte als zweite Ableitung des Optionspreises. Diese Schätzung ist gerade bei kleinen Stichproben erheblich schlechter als die direkte Schätzung des Optionspreises.

Mathematischer Beitrag Der Optionspreis wurde als nichtparametrisches Regressionsmodell in Abhängigkeit vom Basispreis modelliert. In diesem Modell wurde ein rein auf Kernmethoden basierender nichtparametrischer Schätzer entwickelt, der die gewünschten Eigenschaften der Konvexität und der Monotonie berücksichtigt. Es wurden die asymptotischen Eigenschaften des Schätzers untersucht und das Verhalten bei kleinen Stichprobengrößen für einige typische Optionspreismodelle in Simulationen getestet. Insbesondere kann die State-Price-Dichte konsistent als zweite Ableitung des Optionspreis-Schätzers geschätzt werden. Einige Simulationsergebnisse für das Heston-Modell sind in Abbildung 1 dargestellt. Die Methode wurde auch exemplarisch auf einige reale Datensätze angewendet. Abbildung 1: Mittlerer Schätzer der Optionspreisfunktion, deren mittlere erste Ableitung und mittlere State-Price-Dichte

Ergebnisse Sowohl die asymptotische Untersuchung der Schätzer als auch deren Anwendung in Simulationen hat ergeben, dass sie geeignet sind um Aussagen über die wahre Optionspreisfunktion zu treffen und zur weiteren Modellierung im Zusammenhang mit Optionspreisen verwendet werden können. Abbildung 2 zeigt den Schätzer angewendet auf reale Daten. Abbildung 2: Schätzer der Optionspreisfunktion und der State-Price-Dichte für BMW-Optionen und Schätzer der Optionspreisfunktion und der State-Price-Dichte aus Bid/Ask-Preisen für BASF-Optionen

Literatur

M. Birke, K.F. Pilz: Nonparametric Option Pricing with No-arbitrage Constraints. Journal of Financial Econometrics 7, 53–76 (2009).