Pseudoholomorphe Kurven und ihre Anwendungen auf Hamiltonsche Systeme
4st. Vorlesung
dienstags 8 - 10 Uhr in NA 5/64
donnerstags 14 -16 Uhr in NA 5/64
erste Vorlesung: Donnerstag, 18. Oktober 2012
The classes will be in English.
Hamiltonsche Systeme sind ein bedeutsames Modell unserer Welt. Aber sobald wir mit ihrer Hilfe Abläufe in entfernterer Zukunft verstehen wollen, stellen sie uns vor schwierige mathematische Probleme. In den 80er Jahren wurde die pseudoholomorphe Kurvengleichung eingeführt, eine spezielle Form der partiellen Differentialgleichungen. Sie erwies sich
als machtvolles Instrument im Bereich der Symplektischen Geometrie und der Hamiltonschen Systeme. Ziel dieses Kurses wird es sein, einige Anwendungen dieser speziellen Differentialgleichung auf Fragen aus dem Bereich Hamiltonischer Systeme in niedrigen Dimensionen zu erörtern. Wir werden einige wichtige Konzepte aus dem Bereich symplektischer Geometrie sowie die Eigenschaften von pseudo-holomorphen Kurven besprechen, aber nur soweit wir sie brauchen, um in die spannende Diskussion ihrer Anwendungen auf Dynamische Systeme einzusteigen. Ausserdem wollen wir einige der
zahlreichen offenen Fragen in diesem Bereich ansprechen.
Insbesondere werden wir die folgenden berühmten Theoreme behandeln:
• Poincare-Birkhoff-Theorem über Fixpunkte von Twist-Abbilungen.
• Franks’ theorem über eriodische Punkte von Disk-Abbildungen.
Voraussetzungen: Analysis I/II, Lineare Algebra I/II. Für Interessenten,
die Analysis III nicht besucht haben, werden einige Grundlagen aus dieser Vorlesung punktuell bei Bedarf wiederholt, wie z.B. Differentialformen, Satz von Stokes sowie Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen.