Jun.-Prof. Dr. Barney Bramham - Dynamische Systeme

Dynamische Systeme

Weitere Informationen folgen in Kürze.



Kommentar
Dieser Kurs ist eine Einführung in das Gebiet der dynamischen Systeme, mit detaillierten Beweisen und minimalen Voraussetzungen. Wir werden nah dem Buch von Zehnder folgen. Zunächst werden wir einige typische Fragen und Phänomene anhand von ganz einfachen Modellen diskutieren. Danach werden wir uns mit der Rolle eines invarianten Maßes eines dynamischen Systems beschäftigen und den Birkhoff Ergodensatz beweisen. Im zweiten Teil des Kurses werden wir uns mit der Dynamik in einer Umgebung eines hyperbolischen Fixpunktes beschäftigen. Insbesondere werden der Satz von Hartman-Grobman und der Satz von den lokalen und globalen invarianten Mannigfaltigkeiten bewiesen. Der dritte Teil des Kurses ist den invarianten hyperbolischen Mengen von dynamischen Systemen gewidmet. Insbesondere, mit Hilfe des Schattenlemmas wird die komplizierte Bahnstruktur auf hyperbolischen Mengen untersucht; einschließlich des Einbettens von Bernoulli-Systemen und damit die Existenz des Phänomens von Chaos. Die Existenz von hyperbolischen Mengen wird durch das Beispiel des gestörten mathematischen Pendels illustriert. Einschließlich wird das bemerkenswerte Phänomen, sogenannte strukturelle Stabilität, auf hyperbolischen Mengen etabliert.

Voraussetzungen
Analysis I, II, Lineare Algebra I, II. Nützlich sind die Konzepte der Topologie, das endliche Lebesgue-Integral und das Konzept eines Flusses einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

Literatur
Das Buch von Eduard Zehnder: ,,Lectures on Dynamical Systems''. Verlag: European Mathematical Society.