Funktionalanalysis

Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis hat ihre Ursprünge im vergangenen Jahrhundert und ist somit ein sehr junges und modernes Gebiet der Mathematik. Grob gesprochen beschäftigt man sich mit linearen Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen wie beispielsweise Differential- oder Integraloperatoren zwischen geeigneten Funktionenräumen, welche mit einer Norm und somit einem Konvergenzbegriff versehen sind. Die Tatsache, dass die Vektorräume im Gegensatz zu den typischen in der linearen Algebra betrachteten unendlichdimensional sind, produziert im Vergleich zur Analysis auf dem R^n ungewohnte Effekte. Beispielsweise ist nicht jede lineare Abbildung stetig, unendlichdimensionale Banachräume besitzen nicht die Fixpunkteigenschaft, etc.

Wesentliche Prinzipien: Satz von Hahn-Banach zurückgeführt auf die sogenannte transfinite Induktion, Vervollständigung metrischer Räume und die Anwendung auf Räume der Funktionalanalysis, der Bairesche Kategoriensatz mit seinen weitreichenden Folgerungen, schwache Topologien und Spektraltheorie. Je nach Zeit behandeln wir noch Elemente der abstrakten Banachraumtheorie, wie Banach-Mazur-Abstand oder Typ und Cotyp.


Übungsblätter

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Vorbesprechung zum Seminar "Ausgewählte Kapitel der Banachraumtheorie" am 16.7.2015, 9:45 in NA 1/75


Literaturempfehlung:

Haim Brezis Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer 2011.
Yuli Eidelman, Vitali Milman and Antonis Tsolomitis Functional Analysis, American Mathematical Society 2004.