Probability Theory II

Probability Theory II (Stochastic processes I)

Die Vorlesung führt in die allgemeine Theorie stochastischer Prozesse ein. Dies beinhaltet insbesondere Martingale in stetiger Zeit, stationäre und Markov-Prozesse sowie zugehörige Grenzwertsätze. Zentrale Bausteine der sogenannten Lévy-Prozesse sind der Poissonprozess und die Brownsche Bewegung. Vordergründig ist letztere ein mathematisches Modell der physikalischen “Brownschen Bewegung”, hat sich jedoch von dieser Motivation inzwischen vollständig gelöst und besitzt nun eine eigenständige Bedeutung. Wie der Poissonprozess lässt sie sich verteilungsfrei charakterisieren; bis auf triviale Modifikation ist die Brownsche Bewegung der einzige Lévy-Prozess mit stetigen Pfaden – Grund hierfür ist der Zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller. Sie ist ein Limesobjekt, das etwa entsteht, wenn man eine einfache, symmetrische Irrfahrt reskaliert.

Themen sind u.a.

  • Ergodensätze
  • stochastische Prozesse, insbesondere stationäre Prozesse und Markovprozesse
  • schwache Konvergenz in polnischen Räumen
  • Brownsche Bewegung und Donskers Invarianzprinzipien
  • Satz vom iterierten Logarithmus
  • Prinzipien großer Abweichungen
  • lokale Martingale und Semimartingale, stochastische Integration und Martingaldarstellungssätze
  • Lévy-Prozesse.


Voraussetzungen

Wahrscheinlichkeitstheorie I



Literatur

Patrick Billingsley Convergence of probability measures, Wiley.
Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer,
Olav Kallenberg Foundations of Modern Probability, Springer.